[讨论] 【转帖】兰彻斯特方程（战斗方程）

在官网论坛上看了一个帖子，觉得挺有意思，自己就收藏了。
其实可以看做是对领地和野外的一个数学归纳。
跟现实的战争倒是蛮有共通点。

主题:[幻想杂谈]兰彻斯特方程（战斗方程）
作者: Vivian[164978259] 时间：2008-04-30 14:50:13

该方程是微分方程，大致意思就是说，比如说甲乙两军交战：
1.损失和对方攻击力成正比(即对手越强,自己死得越多)
2.损失后会削弱自己的攻击力(即自己或者是敌人死人后,会使自己的实力降低)

现在假设双方作战能力，指挥，地形，装备完全相同，那末，其实力就和人数成正比。举例来说，（即上式a=b，x=甲方人数，y=乙方人数）解方程组有：
1. 甲方100人打乙方100人，结果：双方均被灭.（x(final)=y(final)=0）
2. 甲方100人打乙方50人，结果：甲方损失13人，乙方损失50人（被灭）
3. 甲方1000人打乙方100人，结果：甲方损失8人，乙方损失100人（被灭）
其方程的思想就是“集中优势兵力（最好是绝对优势）打击劣势敌人。”

在领地战中，。自己人越多，打架能力越强，那末损失就越小，甚至不用发卡，不用买雪连，不用采玉复活都行，领地的钱就可以分给大家。
如果双方实力相当，那末就是惨重的代价。甚至领地收入都不够支付支出。

也体现了联盟和团结的重要性。比如说你1000人打对方1000人，实力相当。
但是如果你把对方分裂成500人和500人（即瓦解对手），那末，你们这1000人杀那500+500人（即一个一个的消灭）还不是像切菜，只需要付出300人左右的损失。（即少损失70%）

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兰彻斯特方程
描述交战过程中双方兵力变化关系的微分方程
组。
因系F.W.兰彻斯特所创，故有其名。
简史　1914年，英国工程师
兰彻斯特在英国《工
程》杂志上发表的一系列论文中，首次从古代使
用冷兵器进行战斗和近代运用枪炮进行战斗的不同特点出发，在一些
简化假设的前提下，建立了相应的微分方程组,深刻地揭示了交战过程
中双方战斗单位数(亦称兵力)变化的数量关系。第二次世界大战后，
各国军事运筹学工作者根据实际作战的情况，从不同角度对兰彻斯特
方程进行了研究与扩展，使兰彻斯特型方程成为军事运筹学的重要基
本理论之一。有些学者也将兰彻斯特型方程称为兰彻斯特战斗理论或
战斗动态理论。兰彻斯特型方程与计算机作战模拟结合以后所构成的
各种形式、各种规模的作战模型，在军事决策的各有关领域中得到了
广泛的应用。
主要形式　兰彻斯特方程的主要形式有：
平
方律　设在近代战斗条件下,红、蓝两军交战,
双方各自装备同类武
器，相互通视，并在武器射程范围内进行直接瞄准射击；双方每一
斗单位射击对方每一战斗单位的机会大致相同。将双方在战斗中尚存
的战斗单位数作为连续的状态变量，以m(t)、n(t)表示在战斗开始后
t时刻蓝方、红方在战斗中尚存的作战单位数，可用下列微分方程组
来描述战斗过程中双方兵力随时间的损耗关系：
         ??

式中α、β分别为蓝方、红方在单位时间内每一战斗单位毁伤对方战斗单位的数
目，简称为蓝方、红方的毁伤率系数。在双方使用步兵武器进行直瞄射击的情
况下，毁伤率系数等于武器的射速乘以单发射弹命中目标的概率与命中目标的条
件下毁伤目标概率的乘积。假设交战开始时刻蓝方、红方的初始战斗单位数为m(
0)=M,n(0)=N，从上述微分方程组可知，在交战过程中双方战斗单位数符合下列状
态方程：
   α[M?- m?(t)]=β[N?- n?(t)]
当交战双方的初始战
斗单位数与毁伤率系数之间
满足αM?=βN?时,m(t)与n(t)同时趋于零，战斗不
分胜负。当αM?<βN?时,蓝方将首先被消灭。兰彻斯特将上述关系概括为“在直
接瞄准射击条件下，交战一方的有效战斗力，正比于其战斗单位数的平方与每一战
斗单位平均战斗力(平均毁伤率系数)的乘积”,并称之为“平方律”。按照这一定律
，如果蓝方武器系统的单个战斗单位的平均效能为红方的4倍,则红方在数量上集中2
倍于蓝方的兵力就可抵消蓝方武器在质量上的优势。兰彻斯特采用下述例子说明平
方律符合集中优势兵力的作战原则：“如果蓝方1000人与红方1000人交战,双方单个
战斗单位的平均战斗力相同,红方被蓝方分割成各500人的两半。假定蓝方以1000人
先攻击红方的
500人，则蓝方将以损失134人的代价全歼红方的一半,接着蓝方以剩下
的866人再全歼红方的另一半，蓝方在这两次战斗中总共损失293人。”
直
接求解上述微分方程组可以得到蓝、红双方兵
力随时间变化的关系：

         ??
式中ch(·)、sh(·)为双曲余弦函数与双曲正弦函数。

线性律　假定红、蓝两军各自使用武器(如火炮)
对对方实施远距离间接瞄准射
击，火力集中在已知对方战斗单位的集结地区，该区域的大小与对方部队的数量
无关。此时一方的损伤率与对方向其开火的战斗单位数量成正比，同时也与己方
部队在该防区内的数量成正比。这时，可用下列微分方程组来描述双方战斗单位
数量随时间的变化：(t)、n(t)的含义同平方律。经简单推导可知交战过程中双方
兵力符合下列状态方程：
      α[M - m(t)]=β[N - n(t)]
式中M、N 的意
义同平方律。交战双方不分胜负的条件为αM=βN,如果αM<βN,则蓝方将首先被
消灭。兰彻斯特将上述关系概括为“在向面目标间接瞄准射击的条件下，交战一方
的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战斗单位的平均战斗力的乘积”，并
称之为线性律。
冷兵器时代，战斗形式通常是单兵之间一对一地
进行格斗，
战斗的结局取决于双方的格斗水平，蓝、红双方的平均毁伤率取常数值，分别用α
、β表示，交战过程中双方兵力的变化可用下列微分方程组来描述：
  ??
式中
m(t)、n(t)的含义同平方律。此时交战过程中双方兵力之间符合的状态方程与向面
目标进行间瞄射击时的线性律所描述的状态方程完全相同。这种关系可概括为“在

兵一对一格斗的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战
斗单位的平均战斗力的乘积。”这便是描述冷兵器时代战斗的线性律。
为加
以区别，有时将描述使用冷兵器战斗的线性
律称为“第一线性律”，而将描述使
用火器向面目标进行间瞄射击时的线性律称为“第二线性律”。
扩充与推广　
现代战斗中所包含的各种复杂因素,
远远超出了上述兰彻斯特方程赖以建立的简化
了的假设条件。B.O.库普曼等将双方作战单位数作为随机变量，并运用马尔可夫过
程理论来描述交战过程中出现的毁伤情况，从而得出随机型兰彻斯特方程。S.J.梯
曲曼等从平方律、第二线性律的微分方程组中各取一式，以描述游击战中正规军与
游击队毁伤的情况，并由此得出“混合律”。S.邦德等研究了兰彻斯特方程中毁伤
率系数与敌对双方的射击状态、武器战术技术性能参数间的关系，从而建立了描述
合成军交战并包含部队增援与非战斗毁伤等方面的广义兰彻斯特方程组。H.K.威斯
等将战术决策者所采用的策略作为决策参数纳入兰彻斯特方程，并运用最优化理论
研究了 “最佳战术决策”等方面的问题。J.H.恩格尔等曾运用历史上一些著名战斗
中双方伤亡的数据验证过兰彻斯特方程的正确性。

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[ 本帖最后由氯原子于 2008-5-11 04:13 编辑 ]

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